Qu'est-ce qu'une fonction?
Imaginons qu’une boite puisse changer un nombre :
Le nombre rentre dans cette boite et ressort tout différent.
C’est ce qu’on appelle une fonction.
Qu'est-ce qu'un polynôme?
Il existe différentes formes de fonction, mais nous nous intéressons aux polynômes.
Un polynôme ressemble à :
x + 3x + 2
ou encore à
4x + 6x - 3x - 7
Une fonction, c'est donc une sorte de “boîte” qui ressemble à :
x + 3x + 2 = y
ou encore à :
4x + 6x - 3x - 7 = y
Chaque lettre et chaque nombre ont un rôle spécial :
la lettre x correspond au nombre qui rentre dans la “boite” et le nombre y est celui qui en ressort.
2
4
2
2
4
2
Les coefficients correspondent aux chiffres devant les x.
Dans notre dernier exemple, les coefficients correspondent à 4, 6, -3 et -7.
Si un x n’a aucun de coefficients inscrit, cela signifie que le coefficient est 1.
Que sont les racines?
Les racines d'un polynôme sont les points spéciaux où
y = 0
ou dans l’exemple
x + 3x + 2 = 0
On a donc déjà le nombre d’arrivés, mais quel est le nombre de départs ?
Quel nombre dois-je rentrer dans cette “boite” pour que cette fonction me donne 0 ?
Nous cherchons alors la ou les lettres x de cette fonction appelée les racines.
Le nombre de racines dépend du degré de ce polynôme, en effet :
Par exemple, le polynôme x + 3x + 2 est de degré 2 car on regarde le chiffre le plus élevée sur les x.
Un autre exemple : 4x + 6x - 3x - 7 est de degré 4.
Et donc le degré du polynôme indique le nombre maximal de racines qu'il peut avoir.
2
2
4
2
Le plan réel
Les points que l’on connait principalement, s’écrivent, par exemple :
A = (3 , 5)
On nomme alors le point : A et on le place sur le plan des réelles (celui qu’on utilise le plus) avec les axes horizontale et verticale de la manière suivante :
5
A = (3 , 5)
3
Le chiffre 3 nous décale de 3 unités vers la droite et le chiffre 5 nous fait monter de 5 unités.
Ce qui nous permet de visualiser ce point A.
Le plan Complexe
Le plan complexe est très similaire cependant, la différence avec le plan réelle, c’est que les complexes sont écrits, par exemple :
z = 4 + 3i
Avec i = -1
Ici le point z est écrit comme :
z = (4 , 3)
On a alors l’axe horizontale, dite l’axe des réelles et l’axe verticale, dite l’axe des imaginaires. (le i dans z = 4 + 3i pour imaginaire)
On place donc le point de la manière suivante :
z = (4 , 3)
3
4
Comme précédemment, le chiffre 4 correspondant aux réelles nous décale de 4 unités vers la droite et le chiffre 3 correspondant aux imaginaires (car il est suivit d’un i) nous fait monter de 3 unités.
Ce qui nous permet de visualiser ce point z.
Les nombres complexes sont extrêmement utiles en mathématiques, en physique et dans de nombreux autres domaines. Ils permettent de résoudre des équations qui seraient autrement insolubles. Ils ont été introduits pour résoudre des problèmes mathématiques qui ne peuvent pas être résolus avec les nombres traditionnels.
Certaines racines des polynômes ressemblent à ce z ci-dessus.
Par exemple la fonction x - 6x + 13 = 0 a comme racine
x = 3 + 2i
ainsi que
x = 3 - 2i
Les racines dans le plan Complexe
2
1
2
Que l’on peut placer dans le plan complexe :
x = (3 , 2)
2
1
1111
3
x = (3 , -2)
2
-2
Le plan complexe est donc le seul plan qui nous permet de visualiser les racines d’une fonction dans un plan.
En effet, les racines, donc les x de la fonction qui nous permettent d’obtenir y = 0, ne sont pas que de simple nombres, mais dans le plan complexe, des points.
Notre projet
Pour obtenir l’image du début, nous avons donc placer toutes les racines de tous les polynômes possibles du 15e degré dont les coefficients sont soit 1 soit -1. De plus, les polynômes doivent être unitaires, c’est à dire que le x avec le plus haut degré du polynôme n’a pas de coefficient.
Cela peut être difficile à comprendre donc voici un exemple.
Pour les polynômes du premier degré, nous avons :
x + 1
et
x - 1
leur racine :
x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 + 0i
x - 1 = 0 ⇔ x = 1 + 0i
Pour les polynômes du deuxième degré, nous avons :
x + x + 1
x + x - 1
x - x + 1
x - x - 1
Les racines d’un des polynômes évoqué ci-dessus :
x + x + 1 = 0 ⇔ x = - 0.5 + 0,866...i et
x = - 0,5 - 0,866...i
Nous avons donc deux racines par polynômes, car le polynôme est au deuxième degré. Donc au total, nous aurons 8 racines.
Donc si nous continuons ainsi, jusqu’aux polynômes du 15e degré, nous aurons une quantité
2
2
2
2
2
1
innombrable de racines. En effet, nous aurons au total
32 768 racines
Nous avons vu précédemment que ces racines, nous pouvions les projeter dans le plan complexe.
Nous avons donc ci-dessous, l’évolution des racines des polynômes du degré 1 à 12 projeté dans le plan complexe.
Nous commençons par voir 2 points qui correspondent aux racines des polynômes du 1re degré, puis nous voyons 4 points qui correspondent aux racines des polynômes du 2e degré puis 8 correspondant au 3e degré, et ainsi de suite jusqu’au degré 12.
Nous apercevons alors que l’image se rapproche de plus en plus à l’image du début.